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従来は転勤、転職、病気などの事情により留守管理承認申請書を提出して認可をうけていましたが
、事情によらず変更届のみで転出できるようになっていると思います。
これにより所得の低下によって返済が困難となった場合に所得が回復するまでの間融資住宅を賃貸し、
その賃料収入により返済を継続する事も可能となります。マイホーム借り上げ制度とかもあります。
本来留守宅届は自分（債務者）が転勤などで住めない時に出して一時的に賃貸に出してもいい制度ですが、
今回あなたは住めるのに住んでいないわけですからこの制度を使うことは出来ないのではないかと思います。

まずは借入の形式ですがご両親は連帯債務者または連帯保証人になっているのでしょうか？
もし、ご両親も債務者または保証人になっているのであればそれを理由に留守宅届を出して理解してもらう
現在確かに住宅金融支援機構では住居変更届を出すだけで転居が認められています。
またこのことは事情を問わないとなっています。
そのため一見すんなり申請が通るのかなーと思う反面、当初借入れの条件と変わっていない（収入が下がったわけでもなく親との合算収入で審査されていたわけでない）状態で賃貸に出したことで機構が最悪強固な態度をとるかもしれないことを心配しています。
とは言うもののここでは最悪なことを書いてるわけで案外すんなり通るのではないかという考えが私の中ではほとんど占めています。
相談に行く場合ですが自分ひとりで大丈夫だと思います。
もし厳しいことを言われたときに知識のある人と行けばいいのではないでしょうか。